Programación Lineal para dos variables

En un problema de programación lineal intervienen:
  • La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.
  • Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... ( menores: < ); como mínimo de ... (mayores: > ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.
  • Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina conjunto (o región ) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución. En el apartado siguiente veremos como se determina la región factible.
  • La solución óptima del problema será un par de valores (x0, y0) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.

Ejemplo del uso del applet

Este applet representa dibuja los semiplanos solución de cada una de las restricciones dadas por inecuaciones, ayudándonos por tanto a representar la región factible y los puntos de corte entre las rectas. También se representa la recta de nivel que pasa por el origen, la cual puede ser desplazada mediante un deslizador.

  1. Transcribimos los dastos del problema de programación lineal en dos variables al formulario que aparece debajo. En primer lugar introducimos la función objetivo y luego las restricciones. Con este applet podemos usar hasta 4 restricciones además de las típicas en muchas situaciones que representan los valores positivos de las incógnitas.
  2. Ahora procedemos a ir representando cada una de las inecuaciones, pulsando el botón Dibujar que aparece a la derecha de cada una de ellas.
  3. El botón "Escalar Ejes" es muy importante y se usa para ampliar o disminuir la ventana gráfica.
  4. Por último se representa la recta de beneficio nulo y se desliza para encontrar la solución, siendo esta el último punto que toca de la región factible.
  5. Para no sobrecargar el gráfico, por defecto no aparecen los puntos de intersección de las rectas que intervienen en la región factible (candidatos a ser solución del problema). Para ello hay que pulsar el botón correspondiente y se mostrarán, por lo que la solución numérica es inmediata.

Hay que tener en cuenta que existen problemas de programación lineal de dos variables con solución única, múltiple, no acotada y sin solución. Por lo que habrá que interpretar los resultados del applet según el caso.

Función objetivo: Max/Min: z = x + y
a1 x + b1 y = c1 ----- x + y
a2 x + b2 y = c2 ----- x + y
a3 x + b3 y = c3 ----- x + y
a4 x + b4 y = c4 ----- x + y
x ≥ 0
y ≥ 0

xmin xmáx ymin ymáx

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Miguel A. Jorquera, Creación realizada con GeoGebra